办理抵押物登记的部门如下：以航空器、船舶、车辆抵押的，为运输工具的登记部门。故A项正确。企业、个体工商户、农业生产经营者以《民法典》规定的动产抵押的，应当向抵押人住所地的工商行政管理部门办理登记。抵押权自抵押合同生效时设立；未经登记，不得对抗善意第三人。故B项正确。订立抵押合同前抵押财产已出租的，原租赁关系不受该抵押权的影响。故C项正确。抵押权设立后抵押财产出租的，该租赁关系不得对抗已登记的抵押权。故D项错误。