（1）甲公司董事会无权作出融资担保决议。根据规定，上市公司在1年内购买、出售重大资产或者担保金额超过公司资产总额30％的，应当由股东大会作出决议，并经出席会议的股东所持表决权的2/3以上通过。本题中，甲公司为其子公司一次性提供4000万元的担保，超过了其资产总额的30%，因此需要由股东大会审议，董事会无权作出决议。
（2）甲公司不能聘任刘某担任本公司独立董事。根据规定：在直接或间接持有上市公司已发行股份5%以上的股东单位或者在上市公司前五名股东单位任职的人员及其直系亲属不得担任上市公司的独立董事。本题中，刘某为甲公司最大股东乙公司的总经理，不符合独立董事的任职资格。
（3）甲公司董事会通过向丙公司投资的方案不合法。根据规定：上市公司董事与董事会会议决议事项所涉及的企业有关联关系的，不得对该项决议行使表决权，也不得代理其他董事行使表决权。该董事会会议由过半数的无关联关系董事出席即可举行，董事会会议所作决议须经无关联关系董事过半数通过。出席董事会的无关联关系董事人数不足3人的，应将该事项提交上市公司股东大会审议。本题中，甲公司董事会在对丙公司进行投资的表决中，参加会议的6名董事会成员有4人同时为丙公司董事，有2名董事为无关联关系董事，不足3人，因此，应当将该事项提交上市公司股东大会进行审议。所以董事会通过向丙公司的投资方案不合法。