根据《婚姻登记条例》，男女双方自愿离婚的，双方应当共同到一方当事人常住户口所在地的婚姻登记机关办理离婚登记。故A错误。
收养人不履行抚养义务，有虐待、遗弃等侵害未成年养子女合法权益行为的，送养人要求解除收养人与被收养人的收养关系，但送养人与收养人不能达成解除收养关系协议的，送养人可以向人民法院提起诉讼。故B正确。
生父母应履行抚养教育子女的义务，除确有特殊困难无力抚养子女的情况外，不得随意送养子女。有特殊困难无力抚养子女的生父母，必须双方共同送养。故C错误。
《民法典》根据亲属关系的亲疏远近和扶养关系的密切程度规定了两个继承顺序。第一顺序法定继承人包括配偶、子女、父母。此外，丧偶儿媳对公婆和丧偶女婿对岳父母尽了主要赡养义务的，可以作为第一顺序法定继承人，继承公婆或岳父母的遗产。第二顺序法定继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。故D正确。
收养关系成立后，养子女与生父母之间彼此不再是法律意义上的父母与子女，他们原有的权利和义务终止。但是，收养关系的成立并不能改变养子女与生父母之间的自然血亲关系，故《民法典》中关于直系血亲间禁止结婚的限制性规定仍适用于养子女与其生父母。故E错误。